Faalpad en foutenboom piping

In Figuur 2 zie je een veelvoorkomend faalpad voor het faalmechanisme piping [1]. GeoProb-Pipe richt zich op het modelleren van de initiële mechanismen die leiden tot piping: opbarsten, heave en terugschrijdende erosie. Hierbij wordt aangenomen dat piping optreedt wanneer de deklaag opbarst, heave optreedt en er doorgaande terugschrijdende erosie plaatsvindt. In de schematiseringshandleiding piping [2] zijn de bijbehorende grenstoestandsfuncties beschreven die in het BOI en in GeoProb-Pipe worden gebruikt.

Basis grenstoestandsfuncties BOI

De onderstaande grenstoestandsfuncties vormen de kern van de berekening in GeoProb-Pipe. Ze worden identiek toegepast in elk stijghoogtemodel (limit_state_wbi, limit_state_model4a, limit_state_moria). De verschillen tussen de modellen zitten uitsluitend in de berekening van de stijghoogte \(\phi_{exit}\) en bijbehorende parameters.

Opbarsten

De grenstoestandfunctie van opbarsten \(Z_{u}\) is in [2] als volgt gedefinieerd:

\[Z_{u} = m_{u} \cdot \Delta \phi_{c,u} - (\phi_{exit} - h_{exit})\]

waarbij \(m_{u}\) de modelfactor voor opbarsten is [-].

De grenspotentiaal ten opzichte van maaiveldniveau \(\Delta \phi_{c,u}\) [m] wordt bepaald door het effectieve gewicht van de deklaag onder water:

\[\Delta \phi_{c,u} = \frac{d_{deklaag} \cdot (\gamma_{sat,deklaag} - \gamma_{w})}{\gamma_{w}}\]

waarin:

\(d_{deklaag}\) de dikte van de deklaag is [m]
\(\gamma_{sat}\) het gemiddeld verzadigd volumegewicht van de cohesieve deklaag is [kN/m³]
\(\gamma_{w}\) het volumegewicht van water is [kN/m³]

De dikte van de deklaag \(d_{deklaag}\) ter plaatse van het uittredepunt is gedefinieerd als de verticale afstand tussen het maaiveldniveau en de bovenkant van de pipinggevoelige zandlaag:

\[d_{deklaag} = mv_{exit} - top_{zandlaag}\]

waarin: - \(mv_{exit}\) maaiveldniveau ter plaatse van het uittredepunt [m+NAP] - \(top_{zandlaag}\) niveau bovenkant van de pipinggevoelige zandlaag [m+NAP]

De stijghoogte ter plaatse van het uittredepunt \(\phi_{exit}\) [m+NAP] wordt volgens de schematiseringshandleiding [2] beschreven door:

\[\phi_{exit} = \phi_{polder} + r_{exit} \cdot (h_{rivier} - \phi_{polder})\]

waarin:

\(\phi_{polder}\) het waterniveau in de polder [m+NAP]
\(r_{exit}\) de dempingsfactor ter plaatse van het uittredepunt [-]
\(h_{rivier}\) het waterniveau in de rivier [m+NAP]

De dempingsfactor \(r_{exit}\) ter plaatse van het uittredepunt is afhankelijk van de locatie van het uittredepunt ten opzichte van de dijk en de geohydrologische situatie. De schematiseringshandleiding piping [2] hanteert dit als een onafhankelijke invoerparameter.

\(h_{exit}\) is de randvoorwaarde in het uittredepunt, gedefinieerd door het maximum van het polderpeil en het maaiveldniveau ter plaatse van het uittredepunt:

\[h_{exit} = max(\phi_{polder}, mv_{exit})\]

waarin:

\(\phi_{polder}\) het waterniveau in de polder [m+NAP]

Heave

De grenstoestandfunctie van heave \(Z_{h}\) is in [2] als volgt gedefinieerd:

\[Z_{h} = m_{h} \cdot i_{i,c} - \frac{\phi_{exit} - h_{exit}}{d_{deklaag}}\]

waarin:

\(m_{h}\) de modelfactor voor heave is [-]
\(i_{i,c}\) de kritieke heave-gradiënt is [-]

Opgemerkt wordt dat de modelfactoren \(m_{u}\) en \(m_{h}\) niet zijn opgenomen in de formules van de schematiseringshandleiding piping [2], maar wel in deze implementatie zijn opgenomen om de modelonzekerheid expliciet te kunnen kwantificeren.

Terugschrijdende erosie

De grenstoestandfunctie van terugschrijdende erosie \(Z_{p}\) is in [2] als volgt gedefinieerd:

\[Z_{p} = m_{p} \cdot \Delta H_{c} - \Delta h_{red}\]

met \(\Delta h_{red}\) het gereduceerde verval over de deklaag [m] als:

\[\Delta h_{red} = h_{buitenwaterstand} - h_{exit} - r_{c,deklaag} \cdot d_{deklaag}\]

waarin:

\(m_{p}\) de modelfactor voor terugschrijdende erosie is [-]
\(\Delta H_{c}\) het kritieke verval over de deklaag is [m]
\(h_{buitenwaterstand}\) de buitenwaterstand is [m+NAP]
\(h_{exit}\) de randvoorwaarde in het uittredepunt is [m+NAP]
\(r_{c,deklaag}\) de reductieconstante van het verval over de deklaag is [-]
\(d_{deklaag}\) de dikte van de deklaag is [m]

Het kritieke verval over de deklaag \(\Delta H_{c}\) is gebaseerd op het in 2011 aangepaste model van Sellmeijer.

\[\Delta H_{c} = L_{kwelweg} \cdot F_{resistance} \cdot F_{scale} \cdot F_{geometry}\]

met:

\[ \begin{align}\begin{aligned}F_{resistance} = \eta \frac{\gamma_{korrel} - \gamma_{w}}{\gamma_{w}} \cdot tan(\theta)\\F_{scale} = \frac{d_{70,m}}{\sqrt[3]{L_{kwelweg} \cdot \frac{k \cdot \upsilon_{w}}{g}}} \left(\frac{d_{70}}{d_{70,m}} \right)^{0.4}\\F_{geometry} = 0.91 \left(\frac{D_{wvp}}{L_{kwelweg}} \right)^{\frac{0.28}{\left(\frac{D_{wvp}}{L_{kwelweg}} \right)^{2.8} - 1} + 0.04}\end{aligned}\end{align} \]

waarin:

\(L_{kwelweg}\) de kwelweglengte is [m], gedefinieerd als de horizontale afstand tussen het uittredepunt en een onzeker intredepunt.
\(\eta\) coëfficiënt van White (sleepkrachtfactor) [-]. Standaardwaarde is 0.25
\(\gamma_{korrel}\) volumieke dichtheid van zand [kN/m³]. Standaardwaarde is 26.0 kN/m³
\(\gamma_{w}\) het volumegewicht van water [kN/m³]
\(\theta\) de rolweerstandshoek van zandkorrels van de aangepaste Sellmeijer-rekenregel [°]. Standaardwaarde is 37°
\(d_{70,m}\) de referentie- \(d_{70}\)-waarde [m]. Standaardwaarde is 2.08E-4 m
\(d_{70}\) de 70-percentielwaarde van de korrelverdeling van de pipinggevoelige laag [m]
\(k\) de Darcy-doorlatendheid van de zandlaag [m/s]
\(\upsilon_{w}\) de kinematische viscositeit van water [m²/s]. Standaardwaarde is 1.33E-6 m²/s bij 10°C
\(g\) de zwaartekrachtversnelling [m/s²]. Standaardwaarde is 9.81 m/s²
\(D_{wvp}\) de dikte van de watervoerende zandlaag [m]